Grupo puntual

En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría) que mantiene constante por lo menos un punto fijo. Los grupos puntuales pueden existir en un espacio euclidiano de cualquier otra dimensión, y cada grupo puntual en la dimensión d es un subgrupo del grupo ortogonal O(d). Los grupos puntuales pueden ser considerados como un conjunto de matrices ortogonales M que transforman un punto x en un punto y:

y= M.x

donde el origen es el punto fijo. Los elementos de los grupos puntuales pueden ser: rotaciones (determinante de M= 1) rotaciones impropias, reflexiones, rotaciones-reflexiones, o rotoreflexiones (determinante de M= -1). Todos los grupos puntuales de las rotaciones de dimensión d son subgrupos del grupo ortogonal especial SO(d).

Los grupos puntuales discretos en más de una dimensión se agrupan en familias infinitas, pero por el teorema de restricción cristalográfica y por uno de los teoremas de Bieberbach, cada número de dimensiones solo tiene un número finito de grupos puntuales que son simétricos respecto de una red o retícula con ese número de dimensiones. Estos son los grupos puntuales cristalográficos.